حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d z}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $z$ من كلا المتعادلين.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ على $u$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ على $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d z}{d u}$ على $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

خطوة 1.1.2.3.2

لكتابة $- z$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.3.1

اجمع $- z$ و $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.4.1

أخرِج العامل $z$ من $z - z (1 - z)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.4.1.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.1.2

أخرِج العامل $z$ من $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.1.3

أخرِج العامل $z$ من $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.1.4

أخرِج العامل $z$ من $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.4

اضرب $- - z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.4.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.4.2

اضرب $z$ في $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.5

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.4.6

أضف $0$ و $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.5.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.5.2

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

خطوة 1.1.2.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

خطوة 1.1.2.3.7

اضرب $\frac{z^{2}}{1 - z}$ في $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

خطوة 1.1.2.3.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{z^{2}}{1 - z}$ في $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $1 - z$ من $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $z^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

خطوة 1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $z^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(z^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.2

اضرب $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $z^{- 2}$ في $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $z$ في $z^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

انقُل $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.3.2.2

اضرب $z^{- 2}$ في $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.3.2.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $z^{- 2}$ بالنسبة إلى $z$ هو $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.7

تكامل $z^{- 1}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.2.8

بسّط.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$