حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y - 3 x + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أضف $3 x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x$

خطوة 1.1.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 y + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x - 3$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$ على $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} y = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

خطوة 2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$e^{2 \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x + 1)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(x + 1)}^{2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1)$

خطوة 2.7

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

خطوة 2.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.8.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

خطوة 2.8.2

أضف $x$ و $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2} + 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{2}{x + 1}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.4

اضرب $x^{2} + 2 x + 1$ في $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.5.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 3.2.5.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.5.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.6

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2} \cdot 2 y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

اضرب في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.6.2.4

اقسِم $(x + 1) \cdot 2 y$ على $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x + 1) \cdot 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.2.10

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $x^{2} + 2 x + 1$ في $\frac{3 x}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.3

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2} \cdot 3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اضرب في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) \cdot 3 x}{1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.3.2.4

اقسِم $(x + 1) \cdot 3 x$ على $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x + 1) \cdot 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x \cdot 3 + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.5

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.7

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x \cdot x + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

انقُل $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 (x \cdot x) + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.10

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + x^{2} (- \frac{3}{x + 1}) + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.11.2

اضرب $2 x (- \frac{3}{x + 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} - 2 x \frac{3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.11.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 2 \cdot 3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.11.2.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.11.2.4

اجمع $x$ و $\frac{- 6}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

خطوة 3.3.11.3

اضرب $- \frac{3}{x + 1}$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

خطوة 3.3.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.12.1

اجمع $\frac{3}{x + 1}$ و $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

خطوة 3.3.12.2

انقُل $- 6$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{- 6 \cdot x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

خطوة 3.3.12.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{6 x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

خطوة 3.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 x^{2} - 6 x - 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) - 6 x - 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.1.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x - 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 (x) - 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $- 1$ زائد $- 1$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 1 x - 1 x - 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (x (- x - 1) + 1 (- x - 1))}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x - 1) (x + 1))}{x + 1}$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.4

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.5

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.6

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 3.3.14.3.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 3.3.15

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.15.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $- 3 {(x + 1)}^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 3.3.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.15.2.1

اضرب في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 3.3.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 3.3.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 (x + 1)}{1}$

خطوة 3.3.15.2.4

اقسِم $- 3 (x + 1)$ على $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 (x + 1)$

خطوة 3.3.16

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot 1$

خطوة 3.3.17

اضرب $- 3$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$

خطوة 3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 0 - 3$

خطوة 3.4.2

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} - 3$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] = 3 x^{2} - 3$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] d x = \int 3 x^{2} - 3 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} - 3 d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} d x + \int - 3 d x$

خطوة 7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 \int x^{2} d x + \int - 3 d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 d x$

خطوة 7.4

طبّق قاعدة الثابت.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 x + C$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 3 x + C$

خطوة 7.5.2

بسّط.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ على $x^{2} + 2 x + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ على $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 8.3.1.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 8.3.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 8.3.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

خطوة 8.3.1.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 8.3.1.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 8.3.1.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$