حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 4 \int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.3

اجمع $\frac{u_{1}}{2}$ و $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.6

لنفترض أن $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

افترض أن $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.1

أوجِد مشتقة $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

خطوة 2.3.6.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- {u_{1}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 2.3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

خطوة 2.3.6.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

خطوة 2.3.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

خطوة 2.3.9

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.11.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.11.3

اضرب $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.12

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- {u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2}} + K$