حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x + 2) d y + (y + 2) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $(y + 2) d x$ من كلا المتعادلين.

$(3 x + 2) d y = - (y + 2) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y + 2$ من $(3 x + 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y + 2$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 3 x + 2$ . إذن $d u_{2} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 3 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\ln (| 3 x + 2 |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.3

لكتابة $\ln (| y + 2 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $\ln (| y + 2 |)$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3 + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.5

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| y + 2 |)$ .

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

بسّط $3 \ln (| y + 2 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3}) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.6.1.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3} = C$

خطوة 5.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ .

$\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |) = C$

خطوة 5.6.1.3

بسّط $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 5.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على ${| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |$ .

$\ln ({({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 5.6.1.5

اضرب الأُسس في ${({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln ({| y + 2 |}^{1} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 5.6.1.6

بسّط.

$\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

خطوة 5.6.1.7

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |)} = e^{C}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ .

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$

خطوة 5.9.2

اقسِم كل حد في ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ على ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

اقسِم كل حد في ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ على ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.9.2.2.2

اقسِم $| y + 2 |$ على $1$ .

$| y + 2 | = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.9.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5.9.4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{1}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$