حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $e^{y - 1}$ من ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y - 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y - 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = x + 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 2$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y - 1})$ بنقل $y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

خطوة 3.2.3

اضرب $y - 1$ في $1$ .

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

قسّم الكسر $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ إلى كسرين.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

خطوة 3.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

قسّم الكسر $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ إلى كسرين.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

خطوة 3.3.1.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

خطوة 3.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$