حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x \frac{d y}{d x} = x + 3 y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x \frac{d y}{d x} - 3 y = x$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $2 x \frac{d y}{d x} - 3 y = x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{2 x} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 3}{2 x} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.7

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 3}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3}{2 x} y = \frac{1}{2}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 3}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 3}{2 x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 3}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \frac{3}{2} \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- \frac{3}{2}})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{- 3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{- 3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{3}{2 x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{3 y}{2 x}$ في $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.2

اضرب $x^{\frac{3}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.5

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.3

اجمع.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 3.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 7.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

خطوة 7.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

خطوة 7.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

خطوة 7.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 7.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 7.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 7.4.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 7.4.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 7.4.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أضف $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = C$

خطوة 8.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

خطوة 8.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

خطوة 8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} - C = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - 1 x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$y = - 1 x^{1} + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

بسّط.

$y = - 1 x + C x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.4.2.1.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = - x + C x^{\frac{3}{2}}$