حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 2)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = {(e^{x} + 2)}^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int {(e^{x} + 2)}^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 2)}^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة ${(e^{x} + 2)}^{2}$ بالصيغة $(e^{x} + 2) (e^{x} + 2)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 2) (e^{x} + 2) d x$

خطوة 2.3.1.2

وسّع $(e^{x} + 2) (e^{x} + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 2) + 2 (e^{x} + 2) d x$

خطوة 2.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 2 + 2 (e^{x} + 2) d x$

خطوة 2.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 2 + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 2 + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.3.1.3.1.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 2 + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.3.1.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 2 \cdot e^{x} + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.3.1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 2 e^{x} + 2 e^{x} + 4 d x$

خطوة 2.3.1.3.2

أضف $2 e^{x}$ و $2 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.4

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 4 \int e^{x} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.8

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 4 (e^{x} + C_{3}) + \int 4 d x$

خطوة 2.3.9

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 4 (e^{x} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

خطوة 2.3.10

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 4 e^{x} + 4 x + C_{5}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 x + C_{5}$

خطوة 2.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x + 4 e^{x} + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x + 4 e^{x} + K$