حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{- 2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{- 2}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{- 2}}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{- 2}}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{- 2}}{x}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{- 2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 3}}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 3}}{x^{1}}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 3}}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 3}}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{1}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $x^{- 3}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{- 3}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{- 3}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{- 3}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{3}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} x^{- 3}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} x^{- 3}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x^{- 3}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x^{- 3}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} x^{- 3}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x^{- 3}$

خطوة 3.3

اضرب $x^{3}$ في $x^{- 3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3 - 3}$

خطوة 3.3.2

اطرح $3$ من $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{0}$

خطوة 3.4

بسّط $x^{0}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 1$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{3} y = \int d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$x^{3} y = x + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{3} y = x + C$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{3} y = x + C$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$