حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.5

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} \ln (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u = \ln (y)$ . إذن $d u = \frac{1}{y} d y$ ، لذا $y d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u = \ln (y)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

خطوة 4.2.1.1.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

خطوة 4.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

خطوة 5.3.2.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

خطوة 5.3.2.3

أعِد كتابة $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

خطوة 5.3.2.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $e^{- 3 x + C}$ بالصيغة $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $e^{- 3 x}$ و $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

خطوة 6.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$