حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d t}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $t y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $t^{2} \frac{d y}{d t}$ من $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $t^{2} \frac{d y}{d t}$ من $t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $t^{2} \frac{d y}{d t}$ من $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $t^{2} \frac{d y}{d t}$ من $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ على $t^{2} (1 - y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ على $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $t$ و $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $t$ من $- t y^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

خطوة 1.1.4.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

خطوة 1.1.4.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

خطوة 1.1.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.1

أعِد ترتيب $1$ و $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

خطوة 1.2.1.1.2

أعِد ترتيب $1$ و $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

خطوة 1.2.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

خطوة 1.2.2

لكتابة $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

خطوة 1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(- y + 1) t^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ في $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

خطوة 1.2.3.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

خطوة 1.2.3.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

خطوة 1.2.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

خطوة 1.2.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

خطوة 1.2.5

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} + y^{2} t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

خطوة 1.2.5.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

خطوة 1.2.5.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

خطوة 1.2.5.4

اضرب $y^{2}$ في $1 + t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ في $\frac{1 + t}{t^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $- y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $- y + 1$ من $- (- y + 1)$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $- y + 1$ من $(- y + 1) t^{2}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

خطوة 1.5.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

خطوة 1.5.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

خطوة 1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.2

اضرب $(- y + 1) y^{- 2}$ .

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $y$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

انقُل $y^{- 2}$ .

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب $y^{- 2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3.1.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $y^{- 2}$ في $1$ .

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.6

تكامل $y^{- 1}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.8

بسّط.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.2.9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $t^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.3

اضرب $(1 + t) t^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اضرب $t^{- 2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $t$ في $t^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $t$ في $t^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

خطوة 2.3.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

خطوة 2.3.4.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

خطوة 2.3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- 2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $- t^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

خطوة 2.3.7

تكامل $t^{- 1}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$