حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = c x + d$ . إذن $d u = c d x$ ، لذا $\frac{1}{c} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = c x + d$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $c x + d$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [c x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $c x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $c$ في $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $d$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $d$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$c + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $c$ و $0$ .

$c$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ في $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{c}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{c}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

خطوة 2.3.4

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

خطوة 2.3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.6

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $a$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اضرب $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ في $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.2

اجمع.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.5

اجمع $c$ و $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.6

ألغِ العامل المشترك لـ $c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.7.6.2

اقسِم $d$ على $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.8

بما أن $\frac{1}{c}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{c}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.9

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.11

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.12

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.15

بما أن $d$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $d$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.16

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.17

اجمع $\frac{1}{c}$ و $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

خطوة 2.3.18

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $b$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.19

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

خطوة 2.3.20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.20.1

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.20.2.1

لكتابة $b \ln (| u |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2.3

اضرب $\frac{1}{c}$ في $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2.4

ارفع $c$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2.5

ارفع $c$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

خطوة 2.3.20.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

خطوة 2.3.21

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$