حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x d x$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

خطوة 3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = a$ و $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

خطوة 3.4

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ في $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

خطوة 3.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ في $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

خطوة 3.5.2

ارفع $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ إلى القوة $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

خطوة 3.5.3

ارفع $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ إلى القوة $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

خطوة 3.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

خطوة 3.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

خطوة 3.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ بالصيغة $(a + x) (a - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ في صورة ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

خطوة 3.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

خطوة 3.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

خطوة 3.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

خطوة 3.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

خطوة 3.5.6.5

بسّط.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

خطوة 3.6

اجمع $x$ و $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u = (a + x) (a - x)$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u = (a + x) (a - x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

خطوة 4.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = a + x$ و $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.2

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 (a + x)$ بالصيغة $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

خطوة 4.3.2.1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.2.1.3.8

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.2.1.3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

خطوة 4.3.2.1.3.11

اضرب $a - x$ في $1$ .

$- (a + x) + a - x$

خطوة 4.3.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- a - x + a - x$

خطوة 4.3.2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.2.1

أضف $- a$ و $a$ .

$- x + 0 - x$

خطوة 4.3.2.1.4.2.2

أضف $- x$ و $0$ .

$- x - x$

خطوة 4.3.2.1.4.2.3

اطرح $x$ من $- x$ .

$- 2 x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 4.3.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{u}}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.3.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

خطوة 4.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

خطوة 4.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.7.2.2

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.2.1

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.2.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.7.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.7.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.3.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3.7.3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.7.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.7.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.9.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.9.2.3

اضرب $u^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$