حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2}{y}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{y}{2}$ في $\frac{x + 1}{x}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

خطوة 3.5.4.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

خطوة 3.5.4.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

خطوة 3.5.4.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$