حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{20 - x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

خطوة 1.2.2

لنفترض أن $u = 20 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

افترض أن $u = 20 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

خطوة 1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

خطوة 1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 1.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 1.2.7

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

خطوة 1.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(20 - x)}^{- 2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{2}{20 - x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.2.3

اضرب $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ في $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.2.3.2

اضرب ${(20 - x)}^{2}$ في $20 - x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب ${(20 - x)}^{2}$ في $20 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.1

ارفع $20 - x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.2.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.2.3.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ و $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 20 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 20 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 6.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 6.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 6.5.2

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 6.5.3

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 6.5.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

خطوة 6.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أعِد كتابة $- 4 (- u^{- 1} + C)$ بالصيغة $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

خطوة 6.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

خطوة 6.7.2.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اطرح $\frac{4}{20 - x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

خطوة 7.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

خطوة 7.1.4

لكتابة $- \frac{4}{20 - x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

خطوة 7.1.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(20 - x)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

اضرب $\frac{4}{20 - x}$ في $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

خطوة 7.1.5.2

ارفع $20 - x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

خطوة 7.1.5.3

ارفع $20 - x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

خطوة 7.1.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

خطوة 7.1.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

خطوة 7.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

خطوة 7.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

خطوة 7.1.7.2

اضرب $- 4$ في $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

خطوة 7.1.7.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

خطوة 7.1.8

لكتابة $- C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.9

اجمع $- C$ و $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.1

أعِد كتابة ${(20 - x)}^{2}$ بالصيغة $(20 - x) (20 - x)$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.2

وسّع $(20 - x) (20 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.3.1.1

اضرب $20$ في $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.2

اضرب $- 1$ في $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.3

اضرب $20$ في $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.3.2

اطرح $20 x$ من $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.5.1

اضرب $400$ في $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.1.11.6

اضرب $- 1$ في $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 7.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

خطوة 7.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أضف $80$ إلى كلا المتعادلين.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

خطوة 7.3.2

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

خطوة 7.3.3

أضف $400 C$ إلى كلا المتعادلين.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

خطوة 7.3.4

اطرح $40 C x$ من كلا المتعادلين.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

خطوة 7.3.5

أضف $C x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$