حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

خطوة 1

لنفترض أن $v = b - y$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $b - y$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $b - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $b - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.2

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $b$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

خطوة 2.4

اطرح $y'$ من $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

خطوة 4

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $v$ من $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

خطوة 4.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

خطوة 4.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اجمع $\frac{1}{v}$ و $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

خطوة 5.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

خطوة 5.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

خطوة 5.2.3

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

خطوة 5.2.4

بسّط.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

خطوة 5.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

خطوة 6

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| v |) = a x + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| v |) = a x + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.1.2.2

اقسِم $\ln (| v |)$ على $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (a x)$ بالصيغة $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

خطوة 6.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

خطوة 6.2

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة $\ln (| v |) = - a x - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

خطوة 6.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

خطوة 7

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = \pm e^{- a x + C}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $e^{- a x + C}$ بالصيغة $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب $e^{- a x}$ و $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

خطوة 7.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C e^{- a x}$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $b$ من كلا المتعادلين.

$- y = C e^{- a x} - b$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $- y = C e^{- a x} - b$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $- y = C e^{- a x} - b$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

خطوة 9.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

خطوة 9.2.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ بالصيغة $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

خطوة 9.2.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

خطوة 9.2.3.1.4

اقسِم $b$ على $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

خطوة 10

بسّط ثابت التكامل.

$y = C e^{- a x} + b$