حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ على $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{3}{2} x}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ و $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

خطوة 3.4

اضرب $e^{\frac{3 x}{2}}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

خطوة 3.4.3

لكتابة $- x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

خطوة 3.4.4

اجمع $- x$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

خطوة 3.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

خطوة 3.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $- x \cdot 2 + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x \cdot 2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

خطوة 3.4.6.1.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

خطوة 3.4.6.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

خطوة 3.4.6.3

أضف $- 2$ و $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

خطوة 3.4.7

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

خطوة 7.2

لنفترض أن $u = \frac{x}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

افترض أن $u = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 7.2.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

خطوة 7.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

خطوة 7.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 7.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 7.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

خطوة 7.5.3

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

خطوة 7.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

خطوة 7.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

خطوة 7.8

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ على $e^{\frac{3 x}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ على $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{\frac{1}{2} x}$ و $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{\frac{3 x}{2}}$ من $e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ على $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.3

اطرح $3$ من $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $x \cdot - 2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.3.2.4

اقسِم $x \cdot - 1$ على $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 8.3.1.5

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $5$ عن $y$ في $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ .

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

خطوة 10.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $3 \cdot 0$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

خطوة 10.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

خطوة 10.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

خطوة 10.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

خطوة 10.2.2.2.4

اقسِم $3 \cdot 0$ على $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

خطوة 10.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

خطوة 10.2.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

خطوة 10.2.4

اقسِم $C$ على $1$ .

$1 + C = 5$

خطوة 10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$C = 5 - 1$

خطوة 10.3.2

اطرح $1$ من $5$ .

$C = 4$

خطوة 11

عوّض بـ $4$ عن $C$ في $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $4$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$