حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x + 2 y) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x + 2 y$ في $x$ .

$(x + 2 y) x d x + x d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x + 2 y x) d x + x d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x \cdot x d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = x^{2} + 2 y x$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x - 2 x y$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} + 2 y x - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 y x$ و $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 x y - 2 x y$

خطوة 12.1.2.2

اطرح $2 x y$ من $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

خطوة 12.1.2.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $x^{2}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{x^{3}}{3} + C$