حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(2 x y - e^{y} - x) d x$ من كلا المتعادلين.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (2 x y - e^{y} - x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y - e^{y} - x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 2.2.3

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

خطوة 2.4.2

أضف $2 x - e^{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

خطوة 2.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

خطوة 2.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

خطوة 2.5.2.3

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} + y - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.3.3

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

خطوة 3.5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $e^{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2 x + e^{y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x + e^{y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

خطوة 6.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

خطوة 6.3

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

خطوة 6.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

خطوة 6.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

خطوة 6.6

بسّط.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.3.3

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.4

بما أن $\frac{1}{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أضف $e^{y}$ و $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 9.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

بسّط $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 10.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

خطوة 10.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

خطوة 10.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

خطوة 10.1.1.4.2

اضرب $- - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

خطوة 10.1.1.4.2.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

خطوة 10.1.1.4.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

خطوة 10.1.1.4.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

خطوة 10.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أضف $2 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

خطوة 10.1.2.2

اطرح $e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

خطوة 10.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.3.1

أضف $- 2 x y$ و $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

خطوة 10.1.2.3.2

أضف $e^{y} + x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

خطوة 10.1.2.3.3

اطرح $e^{y}$ من $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 10.1.2.3.4

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 11.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$