حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 1.2.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 1.2.3.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

خطوة 1.2.3.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

خطوة 1.2.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.2.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 1.2.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.2.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.2.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

خطوة 1.2.3.6.5

بسّط.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

خطوة 2.3.1.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ بالصيغة $e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$