حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 e^{x} y + x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 e^{x} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $3 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 e^{x}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $e^{x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{x} = e^{x}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 e^{x} = e^{x}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 4.3.2

اطرح $e^{x}$ من $3 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int 2 d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 e^{x} y + x$ في $e^{2 x}$ .

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $e^{x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل $e^{2 x}$ .

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 6.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 6.3.3

أضف $2 x$ و $x$ .

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $e^{x}$ في $e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $e^{x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = e^{3 x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{3 x} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $e^{3 x} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.3.7

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 11.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 y e^{3 x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $3 y e^{3 x}$ من $3 y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $x e^{2 x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $x e^{2 x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

خطوة 13.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

خطوة 13.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

خطوة 13.4.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

خطوة 13.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 13.6

احذِف الأقواس.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

خطوة 13.7

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.7.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.7.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 13.7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 13.8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 13.9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 13.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

خطوة 13.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 13.11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 13.12

أعِد كتابة $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 13.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

خطوة 15.1.3

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ .

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$