حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$m x d y = n y d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

خطوة 2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{y}$ و $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

خطوة 2.3.2

أخرِج العامل $y$ من $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $m$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $m$ خارج التكامل.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

خطوة 3.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

خطوة 3.2.3

بسّط.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $n$ خارج التكامل.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2

أضف $n \ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

خطوة 4.3

اقسِم كل حد في $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ على $\ln (| y |)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم كل حد في $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ على $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

خطوة 4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

خطوة 4.3.2.1.2

اقسِم $m$ على $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

خطوة 4.5

اضرب كل حد في $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ في $\ln (| y |)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب كل حد في $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ في $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

خطوة 4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

اجمع $\frac{C}{\ln (| y |)}$ و $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

خطوة 4.5.2.1.2

اجمع $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ و $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

خطوة 4.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

خطوة 4.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

خطوة 4.7.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

خطوة 4.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

خطوة 4.7.2.2

اقسِم $n \ln (| x |)$ على $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

خطوة 4.8

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\ln (| y |)$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

خطوة 4.8.2

اطرح $n \ln (| x |)$ من كلا المتعادلين.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

خطوة 4.9

اقسِم كل حد في $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ على $- m$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اقسِم كل حد في $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ على $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

خطوة 4.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

خطوة 4.9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $m$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

خطوة 4.9.2.2.2

اقسِم $\ln (| y |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

خطوة 4.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

خطوة 4.9.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

خطوة 4.10

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

خطوة 4.12

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

خطوة 4.12.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$