حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} (\frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{2 x}{x^{2} - 2}$ في $\frac{y}{y^{2} + 3}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y^{2} + 3$ من $(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y^{2} + 3}{y} d y = \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2} + 3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{y^{2}}{y} + \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{y^{2}}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{y}{1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.3.2.5

اقسِم $y$ على $1$ .

$\int y d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x^{2} - 2$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x^{2} - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x^{2} - 2 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) = \ln (| x^{2} - 2 |) + C$