حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 8 x - 2 y$

خطوة 1

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 8 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (8 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (8 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 8 e^{2 x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 8 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 8 x e^{2 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 8 x e^{2 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 8 x e^{2 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x} y = \int 8 x e^{2 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 8 \int x e^{2 x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 8 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 8 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

خطوة 7.10

أعِد كتابة $8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12.1.3

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 8 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 x} y = 8 \frac{x e^{2 x}}{2} + 8 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$e^{2 x} y = 2 (4) \frac{x e^{2 x}}{2} + 8 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 8 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 x} y = 4 (x e^{2 x}) + 8 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$e^{2 x} y = 4 (x e^{2 x}) + 8 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 7.12.4.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$e^{2 x} y = 4 (x e^{2 x}) + 4 (2) \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 7.12.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 x} y = 4 (x e^{2 x}) + 4 \cdot 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 7.12.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 x} y = 4 (x e^{2 x}) + 2 (- e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{2 x} y = 4 x e^{2 x} - 2 e^{2 x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = 4 x e^{2 x} - 2 e^{2 x} + C$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = 4 x e^{2 x} - 2 e^{2 x} + C$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{4 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- 2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{4 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- 2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- 2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{4 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- 2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $4 x$ على $1$ .

$y = 4 x + \frac{- 2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 4 x + \frac{- 2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$y = 4 x - 2 + \frac{C}{e^{2 x}}$