حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $x + 2 x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.2

اضرب $y$ في $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.4

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

انقُل $y^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.4.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

خطوة 1.5.5

اجمع.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

خطوة 1.5.6

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

خطوة 1.5.7

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

خطوة 1.5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

خطوة 1.5.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.8

اضرب $y + 2 y^{3}$ في $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.9

أخرِج العامل $y$ من $y + 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.9.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.9.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.9.3

أخرِج العامل $y$ من $2 y^{3}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.9.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.10

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.11

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 2 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

خطوة 1.5.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.3

أعِد ترتيب $y$ و $2$ .

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.7

أضف $1$ و $2$ .

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.1.8

أعِد ترتيب $y$ و $2 y^{3}$ .

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$