حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{x y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1}}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

خطوة 1.3.1.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

خطوة 1.3.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

خطوة 1.3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

خطوة 1.3.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

خطوة 1.3.2

اجمع.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{x y}$

خطوة 1.3.3

اجمع.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (x^{2} y^{2})}{y (x y)}$

خطوة 1.3.4

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

انقُل $y$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (x^{2} y^{2})}{y \cdot y x}$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (x^{2} y^{2})}{y^{2} x}$

خطوة 1.3.5

اضرب $x^{2} y^{2}$ في $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2} x}$

خطوة 1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (x y^{2})}{y^{2} x}$

خطوة 1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $y^{2} x$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (x y^{2})}{x y^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (x y^{2})}{x y^{2}}$

خطوة 1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.3.7.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{y^{2}} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$