حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ على $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ على $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ إلى $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\csc^{2} (V) + V - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف $\csc^{2} (V)$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اجمع.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

خطوة 6.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\csc^{2} (V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

خطوة 6.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.3

أعِد كتابة $\csc (V)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.5

اضرب $\sin (V)$ في $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (V)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

لنفترض أن $u = 2 V$ . إذن $d u = 2 d V$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.7.1

افترض أن $u = 2 V$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

خطوة 6.2.2.7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، إذن مشتق $2 V$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

خطوة 6.2.2.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.2.2.7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.8

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.10

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.11

بسّط.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.13.1

اجمع $\sin (2 V)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.13.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.13.4

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.13.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.13.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

خطوة 8.1.2

اجمع $2$ و $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

خطوة 8.1.3

اجمع $\sin (\frac{2 y}{x})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$