حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

خطوة 1

قسّم $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم الكسر $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\sec (\frac{y}{x})$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sec (V) + V - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف $\sec (V)$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sec (V)}$ .

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد كتابة $\sec (V)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (V)}$ .

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.3

اضرب $\cos (V)$ في $1$ .

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $\cos (V)$ بالنسبة إلى $V$ هو $\sin (V)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل الجيب.

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$