حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

خطوة 3

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 3.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $A$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $A x e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.8.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 3.3.10

اضرب $e^{x^{2}}$ في $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

خطوة 3.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

خطوة 3.3.11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

خطوة 3.3.11.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

خطوة 4

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.1.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.1.3.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.1.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x (A e^{x^{2}})$ و $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.2.2

اطرح $e^{x^{2}} A x$ من $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.2.3

أضف $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ و $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

خطوة 5.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

خطوة 5.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

خطوة 5.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

خطوة 5.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

خطوة 6

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = A x e^{x^{2}}$ تمثل حلاً لـ $x y' - y = 2 x^{2} y$