حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - x^{2}$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$1 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$

خطوة 4.2

بسّط $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + K = 1$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + K = 1$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$0 + K = 1$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 1$

خطوة 5

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 1$

خطوة 5.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 1$