حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{5 + 3 y}$ .

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5 + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - 1}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{5 + 3 y} d y = \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{5 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 5 + 3 y$ . إذن $d u_{1} = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 5 + 3 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + 3 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 3 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3$

خطوة 2.2.1.1.4

أضف $0$ و $3$ .

$3$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) = \ln (| x - 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |)) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| 5 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 \ln (| x - 1 |) + 3 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |) = 3 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط $- 3 \ln (| x - 1 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 5 + 3 y |) - \ln ({| x - 1 |}^{3}) = 3 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}})} = e^{3 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$ .

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$

خطوة 3.7.2

اضرب كلا الطرفين في ${| x - 1 |}^{3}$ .

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x - 1 |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

خطوة 3.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 5 + 3 y | = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

خطوة 3.7.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$ .

$| 5 + 3 y | = {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

خطوة 3.7.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$5 + 3 y = \pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

خطوة 3.7.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$ .

$5 + 3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

خطوة 3.7.4.4

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$

خطوة 3.7.4.5

اقسِم كل حد في $3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.1

اقسِم كل حد في $3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

خطوة 3.7.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

خطوة 3.7.4.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

خطوة 3.7.4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} - \frac{5}{3}$

خطوة 3.7.4.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$