حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 + y) d x - (3 - x) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(2 + y) d x$ من كلا المتعادلين.

$- (3 - x) d y = - (2 + y) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(3 - x) (2 + y)}$ .

$\frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (3 - x)) d y = \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (2 + y)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (3 - x) d y = \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (2 + y)) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(3 - x) (2 + y)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{(3 - x) (2 + y)} (3 - x) d y = \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (2 + y)) d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{(3 - x) (2 + y)} (3 - x) d y = \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (2 + y)) d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2 + y} d y = \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (2 + y)) d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2 + y} d y = \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (- (2 + y)) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{2 + y} d y = - \frac{1}{(3 - x) (2 + y)} (2 + y) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(3 - x) (2 + y)}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{2 + y} d y = \frac{- 1}{(3 - x) (2 + y)} (2 + y) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $2 + y$ من $(3 - x) (2 + y)$ .

$- \frac{1}{2 + y} d y = \frac{- 1}{(2 + y) (3 - x)} (2 + y) d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2 + y} d y = \frac{- 1}{(2 + y) (3 - x)} (2 + y) d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2 + y} d y = \frac{- 1}{3 - x} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2 + y} d y = - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{2 + y} d y = \int - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 + y} d y = \int - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u_{1} = 2 + y$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u_{1} = 2 + y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

خطوة 4.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.2.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 + y$ .

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 - x} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 3 - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 3 - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.3.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - x$ .

$- \ln (| 2 + y |) + C_{1} = \ln (| 3 - x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| 2 + y |) = \ln (| 3 - x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| 2 + y |) - \ln (| 3 - x |) = C$

خطوة 5.2

أضف $\ln (| 3 - x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| 2 + y |) = C + \ln (| 3 - x |)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| 2 + y |) = C + \ln (| 3 - x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 2 + y |) = C + \ln (| 3 - x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 + y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 3 - x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| 2 + y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 3 - x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2

اقسِم $\ln (| 2 + y |)$ على $1$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 3 - x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 3 - x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| 2 + y |) = - C + \frac{\ln (| 3 - x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| 3 - x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) = - C - 1 \cdot \ln (| 3 - x |)$

خطوة 5.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| 3 - x |)$ بالصيغة $- \ln (| 3 - x |)$ .

$\ln (| 2 + y |) = - C - \ln (| 3 - x |)$

خطوة 5.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 2 + y |) + \ln (| 3 - x |) = - C$

خطوة 5.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 + y | | 3 - x |) = - C$

خطوة 5.6

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (2 + y) (3 - x) |) = - C$

خطوة 5.7

وسّع $(2 + y) (3 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 2 (3 - x) + y (3 - x) |) = - C$

خطوة 5.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 2 \cdot 3 + 2 (- x) + y (3 - x) |) = - C$

خطوة 5.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 2 \cdot 3 + 2 (- x) + y \cdot 3 + y (- x) |) = - C$

خطوة 5.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\ln (| 6 + 2 (- x) + y \cdot 3 + y (- x) |) = - C$

خطوة 5.8.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\ln (| 6 - 2 x + y \cdot 3 + y (- x) |) = - C$

خطوة 5.8.3

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$\ln (| 6 - 2 x + 3 \cdot y + y (- x) |) = - C$

خطوة 5.8.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (| 6 - 2 x + 3 y - y x |) = - C$

خطوة 5.9

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 6 - 2 x + 3 y - y x |)} = e^{- C}$

خطوة 5.10

أعِد كتابة $\ln (| 6 - 2 x + 3 y - y x |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | 6 - 2 x + 3 y - y x |$

خطوة 5.11

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 6 - 2 x + 3 y - y x | = e^{- C}$ .

$| 6 - 2 x + 3 y - y x | = e^{- C}$

خطوة 5.11.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$6 - 2 x + 3 y - y x = \pm e^{- C}$

خطوة 5.11.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.3.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x + 3 y - y x = \pm e^{- C} - 6$

خطوة 5.11.3.2

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y - y x = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$

خطوة 5.11.4

أخرِج العامل $y$ من $3 y - y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.4.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y$ .

$y \cdot 3 - y x = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$

خطوة 5.11.4.2

أخرِج العامل $y$ من $- y x$ .

$y \cdot 3 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$

خطوة 5.11.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 3 + y (- 1 x)$ .

$y (3 - 1 x) = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$

خطوة 5.11.5

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y (3 - x) = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$

خطوة 5.11.6

اقسِم كل حد في $y (3 - x) = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$ على $3 - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.1

اقسِم كل حد في $y (3 - x) = \pm e^{- C} - 6 + 2 x$ على $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{3 - x} + \frac{- 6}{3 - x} + \frac{2 x}{3 - x}$

خطوة 5.11.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{3 - x} + \frac{- 6}{3 - x} + \frac{2 x}{3 - x}$

خطوة 5.11.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{3 - x} + \frac{- 6}{3 - x} + \frac{2 x}{3 - x}$

خطوة 5.11.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{3 - x} - \frac{6}{3 - x} + \frac{2 x}{3 - x}$

خطوة 5.11.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 6}{3 - x} + \frac{2 x}{3 - x}$

خطوة 5.11.6.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 6 + 2 x}{3 - x}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C + 2 x}{3 - x}$