حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

خطوة 1

أضف $e^{- x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 4 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{4 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{4 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

خطوة 3.3

اضرب $e^{4 x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

خطوة 3.3.2

اطرح $x$ من $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 7.1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 7.1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 7.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

خطوة 7.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ على $e^{4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ على $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ و $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $\frac{1}{3} e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{3} e^{- x}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $\frac{4}{3}$ عن $y$ في $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ .

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ .

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

خطوة 10.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

خطوة 10.2.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

خطوة 10.2.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

خطوة 10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اطرح $\frac{1}{3}$ من كلا المتعادلين.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 10.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

خطوة 10.3.3

اطرح $1$ من $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

خطوة 10.3.4

اقسِم $3$ على $3$ .

$C = 1$

خطوة 11

عوّض بـ $1$ عن $C$ في $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $1$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$