حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (1 + \cos (x y)) d x + x (1 + \cos (x y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y (1 + \cos (x y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + \cos (x y))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (x y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \cos (y)$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.5.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

خطوة 1.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

اضرب $1 + \cos (x y)$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + 1 + \cos (x y)$

خطوة 1.5.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 + \cos (x y))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (x y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

خطوة 2.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

اضرب $1 + \cos (x y)$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + 1 + \cos (x y)$

خطوة 2.5.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (1 + \cos (x y)) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int 1 + \cos (x y) d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = x (\int d y + \int \cos (x y) d y)$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (x y) d y)$

خطوة 5.4

لنفترض أن $u = x y$ . إذن $d u = x d y$ ، لذا $\frac{1}{x} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

افترض أن $u = x y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أوجِد مشتقة $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 5.4.1.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 5.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cdot 1$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$x$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{x} d u)$

خطوة 5.5

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \frac{\cos (u)}{x} d u)$

خطوة 5.6

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} \int \cos (u) d u)$

خطوة 5.7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} (\sin (u) + C))$

خطوة 5.8

بسّط.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (u)}{x}) + C$

خطوة 5.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y + \frac{\sin (x y)}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [y + \frac{\sin (x y)}{x}] + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin (x y)$ و $g (x) = x$ .

$x (0 + \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.5.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.6

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.10

اضرب $y$ في $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.12

أضف $0$ و $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$x \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.13

اجمع $x$ و $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.14.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.15

اضرب $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ في $1$ .

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + y + \frac{\sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) + \sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.17

أضف $- \sin (x y)$ و $\sin (x y)$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y) + 0}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.18

أضف $x (\cos (x y) y)$ و $0$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.19

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.19.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.3.19.2

اقسِم $\cos (x y) y$ على $1$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d g}{d x} = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

بسّط $y (1 + \cos (x y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = 0 + 0 + y (1 + \cos (x y))$

خطوة 9.1.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

خطوة 9.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y \cdot 1 + y \cos (x y)$

خطوة 9.1.1.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y + y \cos (x y)$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $y \cos (x y)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y = y + y \cos (x y) - y \cos (x y)$

خطوة 9.1.2.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$

خطوة 9.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.3.1

اطرح $y \cos (x y)$ من $y \cos (x y)$ .

$\frac{d g}{d x} = y + 0 - y$

خطوة 9.1.2.3.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - y$

خطوة 9.1.2.3.3

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 10.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 10.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

خطوة 12.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = x y + \sin (x y) + C$