حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3 y^{3}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{2 x^{2}}{3 y^{3}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $3 y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{2 x^{2}}{y^{3} \cdot 3}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{2 x^{2}}{y^{3} \cdot 3}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{3} d y = \frac{2 x^{2}}{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{3} d y = \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{2}{9} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{2}{9} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{2}{9} x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{2}{9} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{2}{9} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{4} = 4 (\frac{2}{9} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $4 (\frac{2}{9} x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{2}{9}$ و $x^{3}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{2 x^{3}}{9} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{4} = 4 \frac{2 x^{3}}{9} + 4 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $4 \frac{2 x^{3}}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $4$ و $\frac{2 x^{3}}{9}$ .

$y^{4} = \frac{4 (2 x^{3})}{9} + 4 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$y^{4} = \frac{8 x^{3}}{9} + 4 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{8 x^{3}}{9} + 4 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt[4]{\frac{8 x^{3}}{9} + 4 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $\frac{8 x^{3}}{9} + 4 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $\frac{8 x^{3}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{4 \frac{2 x^{3}}{9} + 4 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{4 \frac{2 x^{3}}{9} + 4 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 \frac{2 x^{3}}{9} + 4 K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{4 (\frac{2 x^{3}}{9} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{4 (\frac{2 x^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{4 (\frac{2 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt[4]{4 \frac{2 x^{3} + K \cdot 9}{9}}$

خطوة 3.4.4

انقُل $9$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{4 \frac{2 x^{3} + 9 K}{9}}$

خطوة 3.4.5

اجمع $4$ و $\frac{2 x^{3} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{4 (2 x^{3} + 9 K)}{9}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $\sqrt[4]{\frac{4 (2 x^{3} + 9 K)}{9}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt[4]{9}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt[4]{9}}$

خطوة 3.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt[4]{3^{2}}}$

خطوة 3.4.7.2

أعِد كتابة $\sqrt[4]{3^{2}}$ بالصيغة $\sqrt{\sqrt{3^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt{\sqrt{3^{2}}}}$

خطوة 3.4.7.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.8

اضرب $\frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.9

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

اضرب $\frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.9.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.9.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 3.4.9.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.9.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.9.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.9.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.9.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.9.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.9.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 3.4.9.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.10.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام الدليل المشترك الأصغر لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.10.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3}$

خطوة 3.4.10.1.2

أعِد كتابة $3^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $3^{\frac{2}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \cdot 3^{\frac{2}{4}}}{3}$

خطوة 3.4.10.1.3

أعِد كتابة $3^{\frac{2}{4}}$ بالصيغة $\sqrt[4]{3^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K)} \sqrt[4]{3^{2}}}{3}$

خطوة 3.4.10.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K) \cdot 3^{2}}}{3}$

خطوة 3.4.10.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{4 (2 x^{3} + 9 K) \cdot 9}}{3}$

خطوة 3.4.10.4

اضرب $9$ في $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + 9 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{36 (2 x^{3} + K)}}{3}$