حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.2.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x} + 4$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V + 4$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V + 4$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V + 4 - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V^{2} + V + 4 - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0 + 4$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف $V^{2}$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 4}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{V^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

خطوة 6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{V^{2} + 4} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{V^{2} + 4} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد ترتيب $V^{2}$ و $4$ .

$\int \frac{1}{4 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $\frac{1}{2^{2} + V^{2}}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $V$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1.1

اضرب $\ln (| x |) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| x |)$ و $2$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.3.1.1.2

بسّط $2 \cdot \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln ({| x |}^{2}) + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.3.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + C \cdot 2$

خطوة 6.3.1.3.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + 2 C$

خطوة 6.3.2

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل قوس الظل.

$\frac{V}{2} = \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

خطوة 6.3.3

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

خطوة 6.3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

خطوة 6.3.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

خطوة 6.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = 2 x \tan (\ln (x^{2}) + C)$