حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = - 2 x y^{2}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- 1}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- 1}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب $v$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{v^{2}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- 1}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = - 2 x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{2}{x} v^{- 1} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{2}{x} v^{- 1} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{2}{x} v^{- 1} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $v^{2}$ من $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- 1} v^{2} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.5

اضرب $v^{- 1}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1.5.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{2} v^{- 1}) = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{2 - 1} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.5.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.6

بسّط $- \frac{2}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.7

اجمع $v$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.2.1.8

انقُل $2$ إلى يسار $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اضرب الأُسس في ${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x v^{- 2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.1.3.2

اضرب $v^{- 2}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

خطوة 6.1.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

خطوة 6.1.1.3.2.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x v^{0} \cdot - 1$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط $- 2 x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 x \cdot - 1$

خطوة 6.1.1.3.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 2 x$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $v$ من $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = 2 x$

خطوة 6.1.3

أعِد ترتيب $v$ و $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = 2 x$

خطوة 6.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل $- \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6.2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.2.2.5

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 6.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 6.2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

خطوة 6.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 2}$

خطوة 6.2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 6.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2.3

اجمع $\frac{2}{x}$ و $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

اضرب $\frac{2 v}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x$

خطوة 6.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x$

خطوة 6.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{2}{x \cdot x} x$

خطوة 6.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{2}{x \cdot x} x$

خطوة 6.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{2}{x}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = \frac{2}{x}$

خطوة 6.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.7.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.7.3

بسّط.

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 6.8

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 6.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{v}{x^{2}} = \ln ({| x |}^{2}) + C$

خطوة 6.8.2.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{v}{x^{2}} = \ln (x^{2}) + C$

خطوة 6.8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\ln (x^{2}) + C) x^{2}$

خطوة 6.8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\ln (x^{2}) + C) x^{2}$

خطوة 6.8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = (\ln (x^{2}) + C) x^{2}$

خطوة 6.8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.2.1

بسّط $(\ln (x^{2}) + C) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = \ln (x^{2}) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 6.8.4.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.4.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2}) x^{2} + C x^{2}$ .

$v = x^{2} \ln (x^{2}) + C x^{2}$

خطوة 6.8.4.2.1.2.2

أعِد ترتيب $x^{2} \ln (x^{2})$ و $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + x^{2} \ln (x^{2})$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C x^{2} + x^{2} \ln (x^{2})$