حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y + x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x^{2} + 4$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} + 4 = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x^{2} + 4 = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x^{2} + 4$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $4 y + x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $4 y + x^{2} y$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $- (- x^{2} - 4)$ من $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $4 y + x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x^{2} - 4$ و $4 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (x^{2} + 4)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

خطوة 4.3.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

خطوة 4.3.4.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

خطوة 4.3.4.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $4 y + x^{2} y$ .

$- \frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $4 y + x^{2} y$ في $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $4 y + x^{2} y$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $4 y + x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.4.2

اقسِم $4 + x^{2}$ على $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $y - 1$ في $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $y - 1$ في $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 4 + x^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

خطوة 8.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 8.4

بسّط.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11.3

بما أن $4 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11.4

بما أن $\frac{1}{3} x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 11.6.2

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{y - 1}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

خطوة 12.3

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

خطوة 12.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

خطوة 12.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

خطوة 12.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.8

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

خطوة 12.9

بسّط.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

خطوة 14

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$