حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 4 y}{x + 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y - 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 4 y}{x + 2}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 4}{x + 2}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 4)}{x + 2}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 2^{2})}{x + 2}$

خطوة 1.1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

خطوة 1.4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

خطوة 1.4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

خطوة 1.4.2.2

اقسِم $x - 2$ على $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x - 2$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (x - 2) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$