حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = (2 x - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} - x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} - x + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (x^{2} - x + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 (- x) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = 3 x^{2} - 3 x + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} - 3 x + 3 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} - 3 x + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) - 3 x + 3 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x) + 3 K}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x + K)}$