حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x (y d) y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

خطوة 1.4

اطرح $2 y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

خطوة 2.2

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 3 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 y = 3 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $3 y$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $3 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $3 x y$ .

$\frac{- 2 y - (3 y)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y - 1 \cdot 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{y (- 2 - 3)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $3$ من $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot - 5}{3 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5}{3 x}$

خطوة 4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{3 x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{5}{3 x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{3 x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{5}{3}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{3} \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- \frac{5}{3} \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| x |)$ و $\frac{5}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{3} \ln (| x |))} + C$

خطوة 5.5.1.2

بسّط $\frac{5}{3} \ln (| x |)$ بنقل $\frac{5}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})} + C$

خطوة 5.5.2

بسّط $- \ln ({| x |}^{\frac{5}{3}})$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1})} + C$

خطوة 5.5.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1} + C$

خطوة 5.5.4

اضرب الأُسس في ${({| x |}^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5}{3} \cdot - 1} + C$

خطوة 5.5.4.2

اضرب $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

اجمع $\frac{5}{3}$ و $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} + C$

خطوة 5.5.4.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 5}{3}} + C$

خطوة 5.5.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{5}{3}} + C$

خطوة 5.5.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{5}{3}}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x^{2} - y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x^{2} - y^{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x^{2} - y^{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

خطوة 6.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $3 x y$ في $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $3 x y \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.5.2

اجمع $x$ و $\frac{3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.5.3

اجمع $y$ و $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{5}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.6

انقُل $x^{1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3}} x^{- 1}} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $x^{\frac{5}{3}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1}} d y = 0$

خطوة 6.7.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.7.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{5 - 3}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.7.5.2

اطرح $3$ من $5$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{y \cdot 3}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.8

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} d x + \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{3 y}{x^{\frac{2}{3}}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 \cdot x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $2$ في $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4

اجمع $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $\frac{3 y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.5.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.5.2.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.9.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.11

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.12

اجمع $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ و $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.13

اضرب $x^{- \frac{1}{3}}$ في $x^{- \frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.13.1

انقُل $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.13.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.13.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.13.4

اطرح $1$ من $- 4$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.13.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.14

انقُل $x^{- \frac{5}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.15

اضرب $\frac{3 y^{2}}{2}$ في $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{3 y^{2} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.16

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{6 y^{2}}{2 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.17

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.18

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.3.19

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بسّط $\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2

وسّع $(- x - y) (x - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.6

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.3.1.6.1

انقُل $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.6.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.1.8

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.2

اطرح $y x$ من $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.3.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.2.2

اطرح $x y$ من $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.3.3

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

أضف $- y^{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{5}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

انقُل $x^{\frac{5}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{5}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{5}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.2.1

انقُل $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{5}{3}} x^{2}) = 0$

خطوة 12.1.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{5}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.2.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 5 + 6}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2.6.2

أضف $- 5$ و $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{1}{3}} = 0$

خطوة 12.1.2

أوجِد العامل المشترك $x^{\frac{1}{3}}$ الموجود في كل حد.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 12.1.3

عوّض بقيمة $x^{\frac{1}{3}}$ التي تساوي $u$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} - (u) = 0$

خطوة 12.1.4

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1.1

اضرب الأُسس في ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

خطوة 12.1.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - u = 0$

خطوة 12.1.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - u = 0$

خطوة 12.1.4.1.2

بسّط.

$\frac{d g}{d x} - u = 0$

خطوة 12.1.4.2

اطرح $\frac{d g}{d x}$ من كلا المتعادلين.

$- u = - \frac{d g}{d x}$

خطوة 12.1.4.3

اقسِم كل حد في $- u = - \frac{d g}{d x}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.3.1

اقسِم كل حد في $- u = - \frac{d g}{d x}$ على $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

خطوة 12.1.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{u}{1} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

خطوة 12.1.4.3.2.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1}$

خطوة 12.1.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{1}$

خطوة 12.1.4.3.3.2

اقسِم $\frac{d g}{d x}$ على $1$ .

$u = \frac{d g}{d x}$

خطوة 12.1.5

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\frac{d g}{d x}$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$

خطوة 12.1.6

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{3}} = \frac{d g}{d x}$ بحيث تصبح $\frac{d g}{d x}$ في الطرف الأيسر.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $x^{\frac{1}{3}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C$