حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اضرب $\frac{d y}{d x} y$ في $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y$ من $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y$ من $\frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y$ من $\frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y$ من $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ على $y (1 + x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ على $y (1 + x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.2

لكتابة $- \frac{x}{1 + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(1 + x) y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.3.1

اضرب $\frac{x}{1 + x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(1 + x) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.5

أخرِج العامل $x$ من $- x y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.5.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.9.1

أعِد كتابة $- (y + 1)$ بالصيغة $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

خطوة 1.1.4.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{x}{1 + x}$ في $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{y + 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

خطوة 1.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

خطوة 1.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

خطوة 1.4.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

خطوة 1.4.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

خطوة 1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

أخرِج العامل $y + 1$ من $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

خطوة 1.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

خطوة 1.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم $y$ على $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

خطوة 2.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

خطوة 2.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

خطوة 2.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 2.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.5

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب $1$ و $x$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.3

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 2.3.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 2.3.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 2.3.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 2.3.3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 2.3.7

لنفترض أن $u_{2} = x + 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

افترض أن $u_{2} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

خطوة 2.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 2.3.11.2

اضرب $- - \ln (| x + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 2.3.11.2.2

اضرب $\ln (| x + 1 |)$ في $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$