حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} - 3 y + 2 = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أضف $3 y$ إلى كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} + 2 = 3 y$

خطوة 1.1.1.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} - \frac{2}{x}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 y - 2}$ .

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2} \cdot \frac{3 y - 2}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2} \cdot \frac{3 y - 2}{x}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 y - 2} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 y - 2} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 3 y - 2$ . إذن $d u = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 3 y - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [3 y - 2]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y - 2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |)) = 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| 3 y - 2 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y - 2 |)}{3} = 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 2 |)}{3} = 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 3 y - 2 |) = 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 3 y - 2 |) = 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 3 y - 2 |) - 3 \ln (| x |) = 3 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| 3 y - 2 |) - 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 3 y - 2 |) - \ln ({| x |}^{3}) = 3 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}) = 3 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}})} = e^{3 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}) = 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} = e^{3 C}$ .

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} = e^{3 C}$

خطوة 3.7.2

اضرب كلا الطرفين في ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{3 C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{3 C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 3 y - 2 | = e^{3 C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.7.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 C} {| x |}^{3}$ .

$| 3 y - 2 | = {| x |}^{3} e^{3 C}$

خطوة 3.7.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$3 y - 2 = \pm {| x |}^{3} e^{3 C}$

خطوة 3.7.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm {| x |}^{3} e^{3 C}$ .

$3 y - 2 = \pm e^{3 C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.7.4.4

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$

خطوة 3.7.4.5

اقسِم كل حد في $3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.1

اقسِم كل حد في $3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 3.7.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 3.7.4.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm C {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$