حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

خطوة 1

أضف $(1 + e^{y}) d x$ إلى كلا المتعادلين.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{1 + e^{y}}$ و $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u = 1 + e^{y}$ . إذن $d u = e^{y} d y$ ، لذا $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u = 1 + e^{y}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

خطوة 4.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 4.2.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

خطوة 4.2.1.1.4

أضف $0$ و $e^{y}$ .

$e^{y}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 4.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$