حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 x y + y^{2}) d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 4 x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - 2 (x^{2} - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 (x^{2} - y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 2.5

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x)$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $4 x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 4 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 2 y = - 4 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$4 x + 2 y = - 4 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 4 x$ .

$\frac{- 4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $4 x + 2 y$ .

$\frac{- 4 x - (4 x + 2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $4 x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $4 x y + y^{2}$ .

$\frac{- 4 x - (4 x + 2 y)}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 4 x - (4 x) - (2 y)}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 4 x - (2 y)}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 4 x - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{- 8 x - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 8 x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8 x$ .

$\frac{2 (- 4 x) - 2 y}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$\frac{2 (- 4 x) + 2 (- y)}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 4 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{4 x y + y^{2}}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $4 x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $4 x y$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x) + y^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x) + y \cdot y}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (4 x) + y \cdot y$ .

$\frac{2 (- 4 x - y)}{y (4 x + y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 4 x - y$ و $4 x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 (- (4 x) - y)}{y (4 x + y)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{2 (- (4 x) - (y))}{y (4 x + y)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (4 x + y)$ بالصيغة $- 1 (4 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (4 x + y))}{y (4 x + y)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $4 x y + y^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(4 x y + y^{2}) d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $4 x y + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(4 x y + y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $4 x y + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x y + y^{2}}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $4 x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $4 x y$ .

$\frac{y (4 x) + y^{2}}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y (4 x) + y \cdot y}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (4 x) + y \cdot y$ .

$\frac{y (4 x + y)}{y^{2}} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y (4 x + y)}{y \cdot y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (4 x + y)}{y \cdot y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x + y}{y} d x - 2 (x^{2} - y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $- 2 (x^{2} - y)$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x - 2 (x^{2} - y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x + y}{y} d x + (- 2 x^{2} - 2 (- y)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + (- 2 x^{2} + 2 y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.8

اضرب $- 2 x^{2} + 2 y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{- 2 x^{2} + 2 y}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.9

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 y}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.9.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 (y)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.9.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- x^{2} + y)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2}) + y)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.11

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- y))}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- (x^{2} - y))}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.13

أعِد كتابة $- (x^{2} - y)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - y)$ .

$\frac{4 x + y}{y} d x + \frac{2 (- 1 (x^{2} - y))}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 x + y}{y} d x - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{4 x + y}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{4 x + y}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} + \frac{y}{y} d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int \frac{y}{y} d x$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int \frac{y}{y} d x$

خطوة 8.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \int \frac{4 x}{y} d x + \int d x$

خطوة 8.4

بما أن $\frac{4}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{4}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{4}{y} \int x d x + \int d x$

خطوة 8.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

خطوة 8.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

خطوة 8.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

خطوة 8.8

بسّط.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{y \cdot 2} + x + C$

خطوة 8.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{2 \cdot y} + x + C$

خطوة 8.9.2

اضرب $2$ في $y$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{2 y} + x + C$

خطوة 8.9.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 y} + x + C$

خطوة 8.9.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (y)} + x + C$

خطوة 8.9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{2})}{2 y} + x + C$

خطوة 8.9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{2}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{2 x^{2}}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.4

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$- 2 x^{2} y^{- 2} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{2} \frac{1}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} \frac{- 2}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{- 2}{y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2.5

أضف $- \frac{2 x^{2}}{y^{2}}$ و $0$ .

$- \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{2}} = - \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

أضف $\frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 (x^{2} - y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 (x^{2} - y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 (- y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} - 2 y}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

أضف $- 2 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 2 y}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

اطرح $2 y$ من $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

خطوة 12.1.1.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

خطوة 12.1.1.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $\frac{2}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{2}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

خطوة 13.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 13.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 13.5

بسّط.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + 2 \ln (| y |) + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

خطوة 15.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y} + x + \ln (y^{2}) + C$