حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (\frac{π}{2}) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

خطوة 2.3.2

تكامل $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

خطوة 2.3.4

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\frac{π}{2}$ عن $t$ وبـ $5$ عن $s$ في $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$5 = \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 5$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 5$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1 + \cos (\frac{π}{2}) + K = 5$

خطوة 4.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$1 + 0 + K = 5$

خطوة 4.2.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$1 + K = 5$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$K = 5 - 1$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $5$ .

$K = 4$

خطوة 5

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 4$