حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} d y = x^{5} d x$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int x^{5} d x$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{5} d x$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

خطوة 1.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} x^{6} + K$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

خطوة 2.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

خطوة 2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط $3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x^{6}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{6}}{6} + K)$

خطوة 2.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{6} + 3 K$

خطوة 2.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{3 (2)} + 3 K$

خطوة 2.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{3 \cdot 2} + 3 K$

خطوة 2.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{x^{6}}{2} + 3 K$

خطوة 2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K}$

خطوة 2.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لكتابة $3 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 2.4.2

اجمع $3 K$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 3 K \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 K}{2}}$

خطوة 2.4.5

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 K}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 2.4.6

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 2.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 2.4.7.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 2.4.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 2.4.7.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 2.4.7.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 2.4.7.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 2.4.7.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 2.4.7.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 2.4.7.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 2.4.7.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 2.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.8.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 2.4.8.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 2.4.9

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 K) \cdot 4}}{2}$

خطوة 2.4.9.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 K) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{6} + 6 K)}}{2}$

خطوة 3

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{6} + K)}}{2}$