حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

انقُل $x^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $x^{\frac{3}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

انقُل $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$