حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y \sin (x) + x y \cos (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y \sin (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

خطوة 2.3.3

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $x \cos (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y \cos (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (x) + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $x \cos (x) + \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $x \cos (x) + \sin (x)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $x \cos (x) + \sin (x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(x \sin (x) + 1) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (x) + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.7

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.3.8

أضف $x \cos (x) + \sin (x)$ و $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 9.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اطرح $x y \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

خطوة 10.1.2

اطرح $y \sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

خطوة 10.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.3.1

اطرح $x y \cos (x)$ من $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

خطوة 10.1.3.2

أضف $y \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

خطوة 10.1.3.3

اطرح $y \sin (x)$ من $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 11.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 11.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 12

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

خطوة 13

بسّط $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

خطوة 13.1.2

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

خطوة 13.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$