حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - y + x^{2} - 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} y - y) + x^{2} - 1$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - 1) + 1 (x^{2} - 1)$

خطوة 1.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x^{2} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} - 1) (y + 1)$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} - 1^{2}) (y + 1)$

خطوة 1.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) (y + 1)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((x + 1) (x - 1) (y + 1))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $y + 1$ من $(x + 1) (x - 1) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

خطوة 1.3.2

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

خطوة 1.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

خطوة 1.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.3.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

خطوة 1.3.3.2

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

خطوة 1.3.3.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x^{2} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y + 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C} = | y + 1 |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$

خطوة 3.3.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C} - 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{3}}{3} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x} e^{C} - 1$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{3}}{3} - x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - x} - 1$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - x} - 1$