حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $\frac{π}{2}$ عن $y$ في $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$π + K = \frac{π}{2}$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $π$ من كلا المتعادلين.

$K = \frac{π}{2} - π$

خطوة 4.3.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.3.3

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $2 π$ من $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = - \frac{π}{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{π}{2}$ عن $K$ في $y = 4 \arctan (x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{π}{2}$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$